next up previous
Next: Esercizi Proposti Up: complessi Previous: Forma polare dei numeri

Formula di de Moivre

Proposizione 2   Sia $\theta\in\mathbbm {R}$ e $n\in\mathbbm {N}$. Allora vale
\begin{EQ} \left(\cos\theta + {\color {blue}\imath\,}\sin\theta\right)^n = \cos{(n\theta)} + {\color {blue}\imath\,}\sin{(n\theta)} \end{EQ}

Dimostrazione 5   Sia $z=\cos\theta + {\color {blue}\imath\,}\sin\theta$. Allora $\abs{z}=1$, ed inoltre dalle regole di moltiplicazione in forma polare si ha
\begin{EQ} z^{2} = z\cdot z = \cos{(2\theta)} + {\color {blue}\imath\,}\sin{(2\theta)}, \end{EQ}
e
\begin{EQ}[lcl] z^{n} &=&z^{n-1}z,\\ &=& \left(\cos{((n-1)\theta)}+{\color {... ...\left(\cos{(n\theta)} + {\color {blue}\imath\,}\sin{(n\theta)}\right). \end{EQ}
Per induzione si ha immediatamente il risultato.

Osservazione 4   Assumendo valide le proprietà della funzione esponenziale per l'elevamento a potenza anche nel campo complesso ottemiamo la proposizione in maniera più semplice:
\begin{EQ} z^{n}= (e^{{\color {blue}\imath\,}\theta})^{n}= e^{{\color {blue}\imath\,}n\theta} \end{EQ}

A questo punto siamo in grado di calcolare $(1+{\color {blue}\imath\,})^{2000}$: basterà scrivere il numero complesso nella sua forma trigonometrica e applicare iterativamente le regole del prodotto in forma polare.
\begin{EQ}[rcl] (1+{\color {blue}\imath\,}) &=& \sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac... ... \left(\cos 0 +{\color {blue}\imath\,}\sin0 )\right),\\ &=& 2^{1000}. \end{EQ} (3)

Esercizio 3   Dato $z\in\mathbbm {C}$ tale che $\abs{z}=1$, trovare sul piano cartesiano i numeri complessi $-z$, $\overline{z}$, $1/z$, ${\color {blue}\imath\,}z$, $z+{\color {blue}\imath\,}z$.

Risoluzione 1   Osserviamo che $z$ appartiene alla circonferenza unitaria. Allora le sue espessioni, algebrica e trigonometrica, sono date da
\begin{EQ}[rcl] z &=& \cos\theta+{\color {blue}\imath\,}\sin\theta,\\ z &=& a+{\color {blue}\imath\,}b, \qquad \mbox{con}\qquad \sqrt{a^2+b^2}=1 \end{EQ}
da cui si ricava
\begin{EQ}[rcl] -z &=& -a-{\color {blue}\imath\,}b,\\ \overline{z} &=& a-{\co... ...}b,\\ \dfrac{1}{z} &=& \dfrac{\overline{z}}{\abs{z}^2}=\overline{z}. \end{EQ}
Il numero ${\color {blue}\imath\,}z$ è il prodotto dei due numeri complessi ${\color {blue}\imath\,}$ e $z$; pertanto, utilizzando le regole del prodotto in forma polare, ricaviamo che:
\begin{EQ}[rcl] \abs{{\color {blue}\imath\,}z} &=&\abs{i}\,\abs{z}=1,\\ \math... ...{arg}\left(i\right)+\mathit{arg}\left(z\right)=\dfrac{\pi}{2}+\theta. \end{EQ}
Quindi ${\color {blue}\imath\,}z$ appartiene alla circonferenza unitaria e il suo argomento è pari all'argomento di $z$ aumentato di un angolo retto.

Analogamente, $z+{\color {blue}\imath\,}z=z(1+{\color {blue}\imath\,})$ è tale che
\begin{EQ}[c] \abs{z+{\color {blue}\imath\,}z} =\abs{z}\,\abs{1+i} =\abs{z}\sq... ...hit{arg}\left(1+{\color {blue}\imath\,}\right) =\theta+\dfrac{\pi}{4} \end{EQ}
Quindi $z+{\color {blue}\imath\,}z$ appartiene alla circonferenza di raggio $\sqrt{2}$ e il suo argomento è pari all'argomento di $z$ aumentato di un angolo di $\dfrac{\pi}{4}$.

Esercizio 4   Trovare i valori dei numeri complessi $z$ che risolvono l'equazione
\begin{EQ} z^n=w, \end{EQ}
dove $w$ è un numero complesso assegnato.

Risoluzione 2   Siano
\begin{EQ}[rcl] z &=& \rho \left(\cos\theta+{\color {blue}\imath\,}\sin\theta\r... ...w &=& \sigma\left(\cos\alpha+{\color {blue}\imath\,}\sin\alpha\right), \end{EQ}
dove $\rho$ e $\theta$ sono valori incogniti da determinare, mentre $\sigma$ e $\alpha$ sono valori assegnati. Imponendo la condizione $z^{n}=w$, si ottiene
\begin{EQ} \rho^n\left(\cos(n\theta)+{\color {blue}\imath\,}\sin(n\theta)\right) =\sigma\left(\cos\alpha+{\color {blue}\imath\,}\sin\alpha\right), \end{EQ}
da cui, per confronto, si ricava
\begin{EQ}[rcl] \rho &=& \sqrt[n]{\sigma}, \\ \theta_k &=& \dfrac{\alpha+2k\pi}{n},\qquad k\in\mathbbm {Z}. \end{EQ}

Osservazione 5   Tutte le soluzioni dell'equazione hanno lo stesso modulo. Osservando infine l'espressione di $\theta$, solo il lettore distratto potrebbe concludere che le soluzioni siano infinite. I distinti valori dell'angolo $\theta$ si ottengono per $k=0,1,\ldots,n-1$. Si ottengono cioè $n$ soluzioni distinte dell'equazione $z^{n}=w$ in corrispondenza degli $n$ valori del parametro $k$:
\begin{EQ}[rcl] z_{0} &=& \sqrt[n]{\sigma} \left(\cos\left(\dfrac{\alpha}{n}\r... ...or {blue}\imath\,}\sin\left(\dfrac{\alpha+2(n-1)\pi}{n}\right)\right) \end{EQ} (4)
Tali soluzioni prendono il nome di radici n-sime di $w$.

Esercizio 5   Trovare le soluzioni in $\mathbbm {C}$ dell'equazione $z^3=1$.

Risoluzione 3   Con le notazioni adottate nell'esercizio precedente,
\begin{EQ}[rcl] 1 &=& 1\,(\cos{0}+{\color {blue}\imath\,}\sin{0}),\\ \rho &=& \sqrt[n]{1} = 1,\\ \theta_{k} &=& \dfrac{0+2k\pi}{3},\quad\,k=0,1,2, \end{EQ}
per cui i valori distini delle radici si ottengono in corrispondenza dei valori degli argomenti $\theta_{0}=0$, $\theta_{1}=\dfrac{2\pi}{3}$, $\theta_{2}=\dfrac{4\pi}{3}$:
\begin{EQ}[rcl] z_1 &=& 1,\\ z_2 &=& \cos{\dfrac{2\pi}{3}}+{\color {blue}\ima... ...{4\pi}{3}} =-\dfrac{1}{2}-{\color {blue}\imath\,}\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \end{EQ} (5)
La verifica è lasciata al lettore volenteroso.

Esercizio 6   Trovare le soluzioni in $\mathbbm {C}$ dell'equazione
\begin{EQ} z^{5} = 1-{\color {blue}\imath\,}. \end{EQ}

Risoluzione 4  
\begin{EQ}[rcl] \abs{1-{\color {blue}\imath\,}} &=& \sqrt{2},\\ \mathit{arg}\left(1-{\color {blue}\imath\,}\right) &=& \arctan(-1)=\dfrac{7\pi}{4}, \end{EQ}
per cui
\begin{EQ} 1-{\color {blue}\imath\,}=\sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{7}{4}\pi}+{\color {blue}\imath\,}\sin{\dfrac{7}{4}\pi}\right). \end{EQ}
Quindi
\begin{EQ}[rcl] \rho &=& \sqrt[5]{\sqrt{2}}=\sqrt[10]{2},\\ \theta_{k} &=& \dfrac{7\pi}{4}+\dfrac{2k\pi}{4},\quad k=0,1,2,3,4. \end{EQ} (6)

Esercizio 7   Scrivere nella forma $x+{\color {blue}\imath\,}y$ il numero complesso $z=\dfrac{1+{\color {blue}\imath\,}}{1-{\color {blue}\imath\,}}.$

Risoluzione 5   Scrivendo
\begin{EQ}[rcl] 1+{\color{blue}\imath\,}&=& \sqrt{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{4}} ... ...s{\dfrac{-\pi}{4}}+{\color{blue}\imath\,}\sin{\dfrac{-\pi}{4}}\right), \end{EQ}
e utilizzando il corollario delle regole del prodotto in forma polare, otteniamo che
\begin{EQ} \abs{z}=1, \end{EQ}
e
\begin{EQ} \mathit{arg}\left(z\right)=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}. \end{EQ}
Quindi, in forma algebrica,
\begin{EQ} z={\color{blue}\imath\,}. \end{EQ}

next up previous
Next: Esercizi Proposti Up: complessi Previous: Forma polare dei numeri
Bertolazzi Enrico
2000-10-16